1.1 定义

设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是概率空间，$X$ 是定义在其上的实值随机变量，$F(x)$ 为其分布函数。

定义 1.1.1（特征函数）： $\varphi_X(t) = E[e^{itX}] = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx} dF(x), \quad t \in \mathbb{R}$

其中 $i = \sqrt{-1}$ 为虚数单位，$e^{itX} = \cos(tX) + i\sin(tX)$。

1.2 存在性

定理 1.2.1：对任意随机变量 $X$，其特征函数 $\varphi_X(t)$ 总是存在且有限。

证明：由于 $\lvert e^{itX} \rvert = 1$，故 $\lvert \varphi_X(t) \rvert = \lvert E[e^{itX}] \rvert \leq E[\lvert e^{itX} \rvert] = E[1] = 1 < \infty$

2.1 有界性与连续性

定理 2.1.1：

1. $\lvert \varphi_X(t) \rvert \leq \varphi_X(0) = 1$
2. $\varphi_X(t)$ 是一致连续函数

证明：

1. 由三角不等式： $\lvert \varphi_X(t) \rvert = \lvert E[e^{itX}] \rvert \leq E[\lvert e^{itX} \rvert] = E[1] = 1$

2. 对任意 $t, h \in \mathbb{R}$：

   $$\begin{aligned} \lvert \varphi_X(t+h) - \varphi_X(t) \rvert &= \lvert E[e^{i(t+h)X} - e^{itX}] \rvert \\ &= \lvert E[e^{itX}(e^{ihX} - 1)] \rvert \\ &\leq E[\lvert e^{ihX} - 1 \rvert] \\ &= E[\sqrt{2 - 2\cos(hX)}] \\ &\leq E[\min\{2, \lvert hX \rvert\}] \end{aligned}$$

   由控制收敛定理，当 $h \to 0$ 时，上式趋于0，且收敛速度与 $t$ 无关，故一致连续。

2.2 对称性

定理 2.2.1： $\varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)}$ 其中 $\overline{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭。

推论：若 $X$ 的分布关于原点对称，则 $\varphi_X(t)$ 为实值函数。

2.3 线性变换

定理 2.3.1：设 $Y = aX + b$，其中 $a, b$ 为常数，则 $\varphi_Y(t) = e^{itb} \varphi_X(at)$

证明： $\varphi_Y(t) = E[e^{itY}] = E[e^{it(aX+b)}] = e^{itb} E[e^{i(at)X}] = e^{itb} \varphi_X(at)$

2.4 独立随机变量的和

定理 2.4.1：若 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 相互独立，则 $\varphi_{X_1 + X_2 + \dots + X_n}(t) = \prod_{k=1}^n \varphi_{X_k}(t)$

证明：由独立性，

2.5 非负定性

定义 2.5.1：函数 $f(t)$ 称为非负定的，若对任意 $n \in \mathbb{N}$，任意实数 $t_1, t_2, \dots, t_n$ 和复数 $z_1, z_2, \dots, z_n$，有： $\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n f(t_j - t_k) z_j \overline{z_k} \geq 0$

定理 2.5.2（波赫纳-辛钦定理）：$\varphi(t)$ 是某随机变量的特征函数当且仅当：

1. $\varphi(0) = 1$
2. $\varphi(t)$ 连续
3. $\varphi(t)$ 非负定

3.1 矩的存在性

定理 3.1.1：若 $E[\lvert X \rvert^k] < \infty$，则 $\varphi_X(t)$ 在 $t = 0$ 处 $k$ 阶可导，且： $\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$

推论： $E[X^k] = \frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{i^k}$

证明概要：对任意 $t$， $\varphi_X(t) = E[e^{itX}] = E\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(itX)^n}{n!}\right]$

若 $E[\lvert X \rvert^k] < \infty$，则可逐项求导 $k$ 次，得到： $\varphi_X^{(k)}(t) = E\left[\frac{d^k}{dt^k} e^{itX}\right] = E[(iX)^k e^{itX}]$

令 $t = 0$，即得结论。

3.2 泰勒展开

定理 3.2.1：若 $E[\lvert X \rvert^n] < \infty$，则 $\varphi_X(t)$ 在 $t = 0$ 处有 $n$ 阶泰勒展开： $\varphi_X(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(it)^k}{k!} E[X^k] + o(t^n)$

推论：若所有阶矩都存在，则 $\varphi_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it)^k}{k!} E[X^k]$

3.3 可微性与尾部性质

特征函数的光滑性反映了分布的尾部衰减速度：

• 若 $\varphi_X(t)$ 无穷次可微，则分布具有所有阶矩
• 若 $\varphi_X(t)$ 在 $t=0$ 处 $k$ 阶可导，则 $E[\lvert X \rvert^k] < \infty$
• 例如：标准柯西分布的特征函数为 $e^{-\lvert t \rvert}$，连续但不可微，对应其重尾性质

4.1 逆转公式

定理 4.1.1（逆转定理）：设 $F(x)$ 和 $\varphi(t)$ 分别为随机变量 $X$ 的分布函数和特征函数，$x_1 < x_2$ 是 $F(x)$ 的连续点，则： $F(x_2) - F(x_1) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T} \frac{e^{-itx_1} - e^{-itx_2}}{it} \varphi(t) dt$

证明：

利用狄利克雷积分：

可得结论。

4.2 唯一性定理

定理 4.2.1（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定。

推论：若两个随机变量的特征函数相同，则它们同分布。

4.3 密度函数的恢复

定理 4.3.1：若特征函数 $\varphi(t)$ 绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{\infty} \lvert \varphi(t) \rvert dt < \infty$，则对应的分布为连续型，且密度函数为： $p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} \varphi(t) dt$

6.1 定义

设 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_n)^T$ 为 $n$ 维随机向量，$\mathbf{t} = (t_1, t_2, \dots, t_n)^T \in \mathbb{R}^n$，则多元特征函数定义为： $\varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = E\left[e^{i\mathbf{t}^T \mathbf{X}}\right] = E\left[e^{i(t_1X_1 + t_2X_2 + \dots + t_nX_n)}\right]$

6.2 性质

1. 边缘分布：$\varphi_{X_k}(t_k) = \varphi_{\mathbf{X}}(0,\dots,0,t_k,0,\dots,0)$

2. 独立性：随机变量 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 相互独立当且仅当： $\varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \prod_{k=1}^n \varphi_{X_k}(t_k)$

3. 线性变换：设 $\mathbf{Y} = A\mathbf{X} + \mathbf{b}$，其中 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$，则： $\varphi_{\mathbf{Y}}(\mathbf{s}) = e^{i\mathbf{s}^T \mathbf{b}} \varphi_{\mathbf{X}}(A^T \mathbf{s})$

4. 多元正态分布：若 $\mathbf{X} \sim N_n(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$，则： $\varphi_{\mathbf{X}}(\mathbf{t}) = \exp\left(i\mathbf{t}^T \boldsymbol{\mu} - \frac{1}{2} \mathbf{t}^T \Sigma \mathbf{t}\right)$

7.1 独立随机变量和的分布

利用特征函数的乘积性质，可以方便地求独立随机变量和的分布。

例：设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布于 $N(0,1)$，则 $\varphi_{X_1 + \dots + X_n}(t) = \left(e^{-\frac{1}{2}t^2}\right)^n = e^{-\frac{n}{2}t^2}$ 故 $X_1 + \dots + X_n \sim N(0,n)$。

7.2 中心极限定理的证明

特征函数是证明中心极限定理的重要工具。设 $X_1, X_2, \dots$ 独立同分布，$E[X_i] = \mu$，$Var(X_i) = \sigma^2$，则标准化和 $Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$ 的特征函数为： $\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_{X_1}\left(\frac{t}{\sigma\sqrt{n}}\right) e^{-i\mu t/(\sigma\sqrt{n})}\right]^n$

利用泰勒展开，可证 $\varphi_{Z_n}(t) \to e^{-\frac{1}{2}t^2}$，即 $Z_n \xrightarrow{d} N(0,1)$。

7.3 弱收敛的判别

定理 7.3.1（连续性定理）：分布函数序列 $\{F_n(x)\}$ 弱收敛于分布函数 $F(x)$ 当且仅当对应的特征函数序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 逐点收敛于 $\varphi(t)$，且 $\varphi(t)$ 在 $t=0$ 处连续。

7.4 矩的计算

通过特征函数的导数可以方便地计算矩： $E[X^k] = \frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{i^k}$

7.5 分布的识别

由于特征函数与分布函数一一对应，可以通过特征函数识别分布类型。

8.1 与傅里叶变换的关系

特征函数本质上是概率密度函数的傅里叶变换： $\varphi_X(t) = \mathcal{F}[p(x)](t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} p(x) dx$

8.2 与矩母函数的关系

矩母函数 $M_X(t) = E[e^{tX}]$ 与特征函数的关系为： $\varphi_X(t) = M_X(it)$

矩母函数不一定总是存在，但特征函数总是存在。

8.3 与拉普拉斯变换的关系

对于非负随机变量，其拉普拉斯变换 $L_X(s) = E[e^{-sX}]$ 与特征函数的关系为： $\varphi_X(t) = L_X(-it)$