Xs's Blog

步骤 1：展开联合密度函数

将联合密度拆分为两项：

其中：

• $f_1$ 对应标准二元正态分布的密度（独立标准正态变量的联合密度）；
• $f_2$ 是扰动项，含交叉项 $x_1 x_2$。

步骤 2：计算 $X_1$ 的边缘密度 $f_{X_1}(x_1)$

边缘密度定义为：

步骤 3：由对称性得 $X_2$ 的边缘密度

联合密度 $f(x_1, x_2)$ 满足 $f(x_1, x_2) = f(x_2, x_1)$（交换 $x_1$ 与 $x_2$ 表达式不变），故：

步骤 4：验证与讨论

1. 非负性验证（确保联合密度有效）：
   括号内项 $1 + x_1 x_2 e^{-\frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)}$ 的最小值分析：

   • 令 $u = \lvert x_1 x_2 \rvert e^{-\frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)}$，由 AM-GM 不等式 $x_1^2 + x_2^2 \geq 2\lvert x_1 x_2 \rvert$，得 $u \leq \lvert x_1 x_2 \rvert e^{-\lvert x_1 x_2 \rvert}$。
   • 函数 $h(t) = t e^{-t}$（$t \geq 0$）的最大值为 $h(1) = 1/e \approx 0.3679 < 1$，故 $1 - u \geq 1 - 1/e > 0$。
   • 因此 $f(x_1, x_2) \geq 0$ 恒成立，联合密度有效。

2. 联合密度积分为 1 的验证：

   $$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x_1, x_2) dx_1 dx_2 = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(x_1) dx_1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x_1^2/2} dx_1 = 1,$$

   符合概率密度函数要求（Fubini 定理适用，因被积函数非负且边缘积分收敛）。

3. 关键观察：

   • 尽管 $X_1$ 与 $X_2$ 不独立（联合密度含交叉项 $x_1 x_2$），但扰动项 $f_2$ 在边缘积分中因奇函数性质消失。
   • 此例说明：边缘分布为标准正态，不能推出联合分布为二元正态或变量独立。本题是构造非独立但边缘为标准正态的经典例子。